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Les indispensables mathématiques
et physiques pour tous

Alexandre Moatti
Editions Odile Jacob
avril 2006

présentation par Christophe Jacquemin 14/04/06

Voir aussi le Blog consacré à cet ouvrage : www.indispensables.net

Si certains se sentent bien à l'aise avec les mathématiques et la physique, d'autres vous diront avoir "toujours été nuls" en ces matières. Etat de fait qui peut mener à tous les poncifs, par exemple celui d'estimer que la beauté des mathématiques ne peut être contemplée que par les chanceux dotés dès la naissance de la fameuse bosse du domaine(1).
C'est peut-être pour battre en brèche cette idée reçue qu'Alexandre Moatti nous livre aujourd'hui ces Indispensables mathématiques et physiques pour tous. Comme le titre l'indique, cet ouvrage s'adresse à tous(2). Et ici, ce "tous" englobe à mon avis autant le grand public que les spécialistes qui y trouveront mille richesses. Un tour de force servi par une grande culture et par cette passion de l'auteur à vouloir expliquer de façon simple ce qui pourrait sembler difficile. "J'ai choisi de naviguer dans les sciences pour montrer comment certaines notions de base, mathématiques ou physiques, sont tout à fait abordable et passionnantes, y compris dans leur formulation", explique d'ailleurs Alexandre Moatti dans l'avant propos. Finalement, il s'agit de montrer comment des notions scientifiques fondamentales peuvent être formulées, et pas seulement exprimées, de manière simple(3).

Dès lors, ce livre se présente comme une invitation au voyage dans un monde mathématique et physique finalement si proche de notre quotidien. En effet, lorsque vous marchez le long de la côte bretonne, vous suivez une courbe fractale de longueur infinie... Lorsque vous utilisez un GPS dans votre voiture, vous ne faites ni plus ni moins que de la relativité restreinte et générale... Vous jouez une gamme au piano : vous sautez d'un nombre rationnel à un autre...
"Comme il existe des anthologies de la poésie, voici ce qui pourrait être une anthologie de la science", explique Alexandre Moatti.
Mais alors, quelles pièces de choix retenir pour justement constituer cette anthologie ? Quels notions de base mettre alors en avant dans l'univers si riche que constitue la science ? Comme nous le confie l'auteur, "ce choix ne peut alors qu'être arbitraire", piège inhérent à ce genre d'exercice. Difficulté dont l'auteur se tire haut la main par un choix judicieux(4), l'ensemble montrant que les sciences progressent par fertilisations croisées.

La première moitié l'ouvrage concerne plus spécifiquement les mathématiques, notamment l'arithmétique, la géométrie, la logique, les probabilités(5). Ainsi, pour l'arithmétique, l'auteur vous emportera dans le monde des nombres rationnels et irrationnels, dans celui de l'infini et du transfini (vous apprendrez par exemple à multiplier ces deux entités), vous initiera à la densité des nombres premiers, vous familiarisera avec les nombres parfaits et amicaux... La géométrie fera bien sûr une place de choix à Pythagore, Descartes, Euler et Euclide. Sans oublier les géométries non euclidiennes.... Vous constaterez par exemple que le fameux peintre hollandais Escher a utilisé dans certains de ses tableaux la géométrie du cercle de Poincaré(6) et la métrique associée.
Le voyage nous conduit ensuite au chapitre de la logique, consacré notamment au théorème de Gödel et pour lequel il faut remercier l'auteur. Ce théorème montre notamment qu'il existe des vérités mathématiques qu'il est impossible de démontrer à l'intérieur du système lui-même (c'est ce qu'on appelle l'incomplétude du système). Ce chapitre, d'une clarté exemplaire, devrait être considéré d'utilité publique, et montre bien dans quel cadre ce théorème doit être utilisé. Je le recommande dès lors tout particulièrement à certains philosophes (mais aussi à d'autres) qui ont employé Gödel à tort et à travers pour persuader le béotien du bien-fondé de ce qu'ils avançaient(7). Ce qu'avec un certain humour, Alexandre Moatti appelle "la gödelite" (voir à ce sujet l'encadré page 91 ayant pour titre "Un florilège de la gödelite et autres paraphrases scientifiques").

Après un petit tour du côté des probabilités, la suite de l'ouvrage concerne plus spécifiquement la physique avec un premier ensemble dont le fil directeur est la lumière. Son étude au cours des âges a conduit au début du XX^e siècle à la naissance de ces deux théories révolutionnaires : la relativité et la mécanique quantique. Un autre fil directeur est ensuite le mouvement relatif. Enfin, le livre vient se clore sur deux notions à la frontière des mathématiques et de la physique : les courbes fractales et la théorie du chaos.

Derrière la lecture de cet ensemble se dessinent en filigrane d'autres thèmes d'importance : on découvrira ainsi cette notion d'incertitude dans la science, découverte fondamentale des scientifiques du XX^e siècle, aussi bien en physique (principe d'indétermination d'Heisenberg par exemple) qu'en mathématiques (théorème d'indécidabilité de Gödel...). Les erreurs d'expériences, les artefacts de manipulations(8) ont instantanément conduit à de riches et nouvelles théories : citons Röntgen et son matériau rendu fluorescent par de nouveaux rayons (les rayons X), Becquerel et sa plaque impressionnée par les rayons uraniques, qui mènera Marie Curie à la découverte de la radioactivité...
Au cours de la lecture, on touchera aussi du doigt cette incessante dualité science/technologie, montrant que les hommes de science sont aussi des inventeurs (Foucault et son gyroscope par exemple, utilisé aujourd'hui comme boussole dans les bateaux et avions, ou dans les robots autonomes pour leur permettre de se repérer). Si la science fait avancer la technologie, l'inverse est également vrai : c'est grâce à de nouveaux outils de laboratoires que l'un des tests de la relativité générale ou la résolution du paradoxe Einstein-Podolski-Rosen (dit "paradoxe EPR") ont pu être effectués, quarante ans après leur conception. C'est aussi par la construction d'interféromètres de très haute précision que seront peut-être enfin mises en évidence les ondes gravitationnelles prévues par la théorie de la relativité générale (9) .
C'est aussi grâce à l'apparition des ordinateurs et aujourd'hui de leurs fabuleuses capacités de calcul(10) que des conjectures mathématiques peuvent être résolues, que des modèles peuvent être simulés, permettant de confirmer ou d'informer certaines théories.

Un livre donc aux multiples facettes car le voyage à travers les sciences auquel nous invite l'auteur est aussi celui de l'Europe intellectuelle et scientifique du XVII^e au XX^e siècle, où les idées circulaient entre grands pays européens, confrontant les grandes traditions scientifiques nationales, chaque pays ayant finalement ses grandes spécificités.

Avec ces Indispensables mathématiques et physiques pour tous, Alexandre Moatti nous apporte finalement ici un message des plus originaux. Au lieu de considérer que la connaissance profonde est trop compliquée à présenter à celui qui va la recevoir, et donc doit être forcément "vulgarisée" (terme si flou qu'on ne sait plus trop ce qu'il recouvre(11) ), il montre qu'il est possible de s'adresser à l'honnête homme du XXIe siècle en évitant un décalage présupposé entre la signification des théories pour les scientifiques qui les connaissent et ce qui en est présenté au public.

(1) Malheureusement pour tous les bosselés du monde, la fameuse bosse des maths n’existe pas. En fait, cette capacité est plus acquise qu'innée. Lorsqu’il est soumis à un calcul, le cerveau travaille en plusieurs endroits, les deux hémisphères sont mis en branle et s’activeront d’autant plus et mieux que l’apprentissage aura été important. Des chercheurs français ont étudié le cerveau d’un prodige du calcul mental, Rudiger Gramm, et ont montré que différentes zones s’activent et collaborent ensemble pour lui permettre ses exploits intellectuels (cf Nature Neuroscience de janvier 2001, Volume 4 n°1 pp 103 - 107).. La passion pour les chiffres est évidemment l’élément déclencheur, les "capacités" mathématiques seront ensuite d’autant plus développées qu’elles seront entretenues et exercées, et la "collaboration" entre les hémisphères cérébraux parfaitement huilée. Selon le Dr. Stanislas Dehaene, nos connaissances mathématiques dépendent étroitement de l’organisation de notre cerveau car tous les hommes ont des prédispositions naturelles au calcul, conséquence évolutive du développement de notre cerveau.
(2) Disons cependant que certains passages (par exemple la présentation de certaines formules mathématiques) nécessitent à mon avis un niveau baccalauréat (pas forcément de filière "science"). Cela dit, le livre est conçu de telle manière à ce que cela ne soit pas rédhibitoire à la compréhension de ce que veut faire passer l'auteur, qui s'applique à chaque fois à bien expliciter les termes utilisés. Apparaissent par exemple deux fois des signes de dérivés ou d'intégrale, mais à titre d'exposé uniquement (système différentiel du chaos, fonction d'onde de Schrödinger).
(3) Ainsi, par exemple page 166 au chapitre "Preuves expérimentales et applications de la relativité", l'auteur n'hésite pas, pour mieux illustrer son propos de façon pratique et concrète, à nous conduire au calcul relativiste de correction des horloges dans le GPS (seule application d'ailleurs dans notre vie quotidienne, qui découle aujourd'hui de cette théorie*). Pour cela, il utilise une formulation simple, sans utilisation des formules de tenseurs de la relativité générale, qui n'auraient pas leur place dans cet ouvrage....
* Au contraire de la mécanique quantique qui présente de nombreuses applications dans notre monde de tous les jours (semi-conducteurs, ordinateurs, lasers, microscopie électronique...).
(4) Les lecteurs d'Automates Intelligents regretteront peut-être l'absence d'un passage concernant les sciences de la complexité, qui aurait pu faire suite au chapitre consacré au chaos déterministe présenté en fin d'ouvrage.
(5) Cette partie, comme le souligne l'auteur, n'évoque ni l'algèbre avancée, ni l'analyse, qui sont d'un haut niveau conceptuel, y compris leurs outils de démonstration.
(6) Géométrie hyperbolique (non euclidienne), dont le cercle de Poincaré est un modèle.
(7) Le théorème de Gödel est une découverte mathématique qui ne s'applique pas aux sciences humaines et sociales. Et pourtant, certains philosophes et "penseurs" n'ont pas hésité à mettre l'incomplétude à toutes les sauces... Voir notre chronique "Prodiges et vertiges de l'analogie datée du 20/11/1999).
(8) Concernant cette capacité de découverte ou d'invention par la récupération et l'exploitation des conséquences d'une erreur de manipulation, d'une maladresse ou du non-respect d'un protocole on pourra lire dans nos colonnes "La sérendipité ou l'exploitation créative de l'imprévu", article de Jean-Louis Swinners.
(9) Voir par exemple notre article "Virgo, une antenne de détection des ondes gravitationnelles".
(10) Voir notre article "Les superordinateurs et la course au pétaflop", ainsi que notre actualité du 21/11/05, tout en signalant que la machine Tera-10 livrée en France en novembre 2005 au CEA devrait se classer en 5ème position du top mondial des superordinateurs dans la nouvelle liste TOP 500 qui sera publiée en juin prochain.
(11) Vulgarisation qui pose toujours le postulat que la science est bien trop compliquée pour être présentée au public sans appliquer de grossières ficelles... Voir par exemple les conseils prodigués dans la fiche: "Comment bien vulgariser" où l'on vous assène "Votre public est déjà submergé d'informations. Pourquoi devrait-il vous écouter? Sachez capter son intérêt en lui racontant une histoire qui le touche et rejoint ses préoccupations" ... [ceci revenant finalement à dire que le public ne s'intéresse pas à la science, trop lointaine de ses préoccupations !]. Ou encore : "Exprimez-vous simplement, en utilisant le moins de mots techniques possible" [conseil qui, à mon avis, ne me semble pas forcément judicieux : ce qui compte, c'est l'explicitation de ces mots techniques, souvent inhérents à la discipline. Les mots ont une définition. Ceci, transposé à la culture, voudrait dire qu'il ne faut pas employer dans un ouvrage des mots comme "palindrome", "efférent", "recension", "dataire", "clavaire", parce qu'on présupposerait qu'ils sont ennuyeux !].

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