La
question qu'on peut se poser en lisant la préface
de A New Kind of Science (ANKS) de Stephen Wolfram,
c'est comment en tant que créateur et diffuseur d'un
des plus grands logiciels de mathématiques symboliques
Mathematica, Wolfram a pu écrire que celles-ci
ont des limites très étroites et qu'elles
sont vouées à être remplacées
dans le futur par le formalisme puissant à base d'automates
cellulaires qu'il a commencé à proposer dans
son livre. J'ai traduit cet ouvrage notamment pour être
capable de lire et comprendre la plus volumineuse section
du dernier chapitre intitulée "Implications
pour les mathématiques et leurs fondements".
Je vais essayer ici d'exposer les grandes lignes de son
argumentaire et des expérimentations qui le soutiennent.
Disons
tout d'abord un mot du style de Wolfram, pour ne pas se
braquer d'entrée sur cette question si sensible de
l'hégémonie des mathématiques dans
notre imaginaire scientifique. Quand on s'attaque à
une idéologie dominante en parlant de la "remplacer",
des résistances réflexes se lèvent
immédiatement, ceci lié directement à
l'état de domination plus ou moins complet dans lequel
on peut être. De plus selon Wolfram, il y a un problème
de clarté incompatible avec le style habituel de
la littérature scientifique quand on s'attaque à
de tels sujets. Et vu l'importance du blocage dans lequel
les mathématiques nous maintiennent, l'auteur a pris
le risque de paraître provocateur, et j'ai tenté
de respecter son point de vue.
Le style habituellement employé dans la littérature
scientifique est discret et prudent, et je l'ai utilisé
dans le passé avec dévotion. Mais j'ai découvert
à un certain moment que les résultats les
plus saillants étaient souvent incompréhensibles
s'ils étaient présentés de cette façon.
Pour faire comprendre qu'une chose est réellement
importante, il est très difficile de manier ce style.
Donc en écrivant ce livre, j'ai choisi de signaler
sans détours l'importance que je crois associée
à mes différents résultats. J'aurais
peut-être pu éviter certaines critiques en
montrant plus de modestie, mais cela aurait nuit grandement
à la clarté (extrait tiré des notes
de l'ANKS).
* * * * * * * * * * * * * * * * *
Le
long développement sur les mathématiques se
situe dans le dernier chapitre qui porte le nom de "Principe
d'équivalence computationnelle". Ce principe
est un des outils nécessaire pour décoder
le raisonnement de Wolfram. Il vient en déduction
de toute une série d'expériences décrites
auparavant dans le livre et basées sur le comportement
des automates cellulaires. Les plus simples des automates
cellulaires sont des systèmes d'accumulation de cellules
à deux couleurs possibles, mises à jour selon
des règles tenant compte des couleurs initiales de
la cellule et des deux voisines immédiates. Dans
ce modèle très simple d'automate, comme il
n'y a que trois cellules impliquées dans les mises
à jour, il n'y a que huit situations possibles :
4 cas où la cellule centrale est blanche, 4 cas où
elle est noire. Le détail de ces 4 cas dépendant
des états des cellules voisines : la cellule centrale
cernée par les blanches, cernée par les noires,
blanche à droite et noire à gauche, et le
contraire. Ces 8 situations peuvent donner chacune des nouvelles
cellules centrales ou blanches ou noires. Ce qui donnent
28 ou 256 règles
possibles pour ce montage-là d'automates cellulaires.
En
explorant systématiquement ces 256 règles
presque par hasard, sans penser trouver quoi que ce soit
d'exceptionnel, Wolfram s'est retrouvé devant des
dessins étranges représentant les comportements
de ces automates. Et il les a classés selon quatre
catégories : répétitifs, nidifiants
(ou fractals), aléatoires, et "à structures
localisées". Déjà dans cette classification,
les mathématiques étaient devenues inopérantes.
On peut écrire une équation décrivant
la première classe, mais déjà la seconde
classe des fractales peut poser des problèmes. La
troisième classe aléatoire sort du champ de
pilotage des mathématiques, notamment dans la définition
récente de l'aléatoire selon laquelle toute
séquence aléatoire est incompressible. Alors
que ces automates aléatoires sont le simple fruit
d'une règle résumée dans 8 cas. Et
même avec des critères plus opérationnels,
on ne peut prédire leur comportement, on est obligé
de dérouler l'automate pour connaître son comportement.
Celui-ci est résistant à toute algorithmie
ou raccourci. Le quatrième cas des automates à
structures localisées est encore plus inaccessible
au formalisme mathématique et à la mise en
équation. Et pourtant c'est l'image de la plupart
des phénomènes complexes qui nous entourent.
|
répétition
(règle 250)
|
nidifiant
ou fractal (règle 90)
|
|
aléatoire
(règle 30)
|
structures
localisées (règle 110)
|
Ces
automates de classe 4 à structures localisées
avaient déjà été repérés
avec le Jeu de la Vie il y a quelques années, mais
aucune des conséquences que leur existence entraîne
n'avaient été tirées.
Comment
penser un seul instant que ces dessins puissent remplacer
les mathématiques ? Il suffit pour le moment de juste
considérer que les mathématiques ne peuvent
pas les manipuler, et qu'elles ne les tiennent pas dans
leur champ. Par contre eux, les automates, peuvent modéliser
les mathématiques et les résultats de ces
modélisations sont loin d'être sans conséquences
sur les jugements qu'on peut avoir sur les fondements mêmes
des mathématiques. Mais comment modéliser
les mathématiques ?
Quand
Wolfram est tombé sur ces premiers automates, il
a voulu savoir si les propriétés étranges
de leurs comportements étaient liées à
la forme particulière des automates cellulaires 'classiques'
à deux couleurs. Et il a développé
tout un bestiaire de systèmes possibles, d'abord
pour isoler les caractères de ces premiers automates
selon le bon réflexe de tout scientifique essayant
de découper en morceaux pour voir qui est responsable
de quoi. Et comme il retrouvait à chaque fois ces
4 classes (répétitives, nidifiantes, aléatoires
et à structures localisées) dans les systèmes
à substitutions, systèmes tags, machines de
Turing, etc., utilisant telle ou telle caractéristique
des premiers automates cellulaires, il a commencé
à construire d'autres automates variés pour
tester plus librement la généralisation de
ces comportements. Les automates continus, ou à plusieurs
couleurs, ou mobilisant plus de cellules voisines, ou les
systèmes en réseaux,etc., ont confirmé
qu'il était sur la piste de nouvelles lois générales.
Notamment une de ces nouvelles lois concerne l'existence
d'un seuil au-delà duquel tous ces systèmes
peuvent s'émuler entre eux. A partir du moment ou
l'un de ces systèmes est capable d'atteindre un certain
seuil de complexité relativement bas, il peut simuler
le comportement de n'importe quel autre système ayant
lui aussi atteint ce seuil. Une des parties du livre s'attache
à décrire les expériences concrètes
ayant amené à cette conclusion. Wolfram a
appelé cette loi le "principe d'équivalence
computationnelle". Atteindre ce seuil de complexité
signifie notamment posséder des propriétés
d'indécidabilité et d'irréductibilité
si difficiles à traiter pour le formalisme mathématique.
On peut commencer déjà à entrevoir
la signification finalement très simple de l'observation
de Gödel quand il a énoncé son théorème
d'incomplétude. Les automates les plus adaptés
pour simuler les mathématiques sont les systèmes
multichemins. Ces systèmes traitent les théorèmes
comme les nœuds d'un réseau, et leurs démonstrations
comme les déplacements à l'intérieur
de ces réseaux, pour passer d'un théorème
à l'autre. Wolfram a fait l'effort d'étudier
les systèmes axiomatiques des différents domaines
mathématiques (logique, théorie des groupes,
algèbre, théorie des ensembles, topologie,
analyse réelle, géométrie plane, arithmétique...),
mais en étudiant tous les chemins possibles de liaison
des théorèmes entre eux. Par cette approche
systématique, caractéristique de sa démarche
globale dans son livre, il a montré que les mathématiques
subissaient les mêmes lois d'irréductibilité
et d'indécidabilité que tous les autres automates
cellulaires ayant atteint le seuil de complexité
suffisant (appelé aussi seuil d'universalité).
Il a montré que les mathématiques sous leur
forme actuelle n'étaient qu'une forme restreinte
parmi toutes les mathématiques possibles. Et il a
montré que les choix faits pour étudier telle
ou telle partie de ce domaine étendu, été
liés à l'historique des mathématiques
plutôt qu'à autre chose. Et surtout pas à
leur efficacité pour traiter des phénomènes
complexes, car ces choix évitaient soigneusement
toutes les combinaisons et chemins indécidables,
visant par là surtout à se préserver
elle-mêmes comme cohérentes, ce qui est normal
en quelque sorte pour tout système. Mais cela est
en complète contradiction avec les espoirs dont on
a pu investir les mathématiques comme outil pouvant
décrire le réel le plus largement possible.
Pourquoi le théorème d'incomplétude
de Gödel a-t-il paru si obscur, inutile et gênant
pour les mathématiciens dans le passé ? Car
il pointait cette propriété d'indécidabilité
au cœur des mathématiques, et commençait
clairement à remettre en jeu leur potentiel. Quels
pouvaient être ces objets obscurs nécessaires
pour compléter l'arithmétique et ne faisant
pas partie d'elle? Le nouveau formalisme que Wolfram et
d'autres appellent de leur vœu, et que l'auteur de
l'ANKS nomme 'une nouvelle forme de science' se révèle
autrement plus puissant sans s'embarrasser de ces objets
obscurs, même s'il n'est qu'au début de son
existence. Les automates cellulaires semblent être
un moyen efficace de le toucher du doigt.
Les mathématiques discrètes existent depuis
un certain temps, et les automates cellulaires aussi, mais
ceux-ci n'ont pas été étudiés
pour eux-mêmes, mais plutôt dans le cadre de
telle application mathématique compliquée.
Alors qu'une des observations de Wolfram ouvrant la voie
pour dépasser les limites des mathématiques,
est qu'un système simple comme un automate cellulaire
peut générer un comportement hautement complexe,
atteignant rapidement le seuil d'universalité et
pouvant simuler n'importe quel autre système complexe,
naturel ou non. Et cette simplicité, vue par exemple
dans les règles décrites au début de
l'article, associée à la puissance des ordinateurs
actuels, permet de manipuler ces systèmes complexes
efficacement de manière systématique, sans
s'investir dans la recherche de raccourcis mathématiques
pouvant prendre un temps infini pour être découverts,
s'ils existent, puisqu'on a affaire à des systèmes
indécidables.
Reconnaître ses limites, c'est aussi progresser et
se doter des moyens de les contourner.
Einstein
disait que seules les lois physiques faciles à exprimer
avec le formalisme mathématique pouvaient être
repérées. Une solution semble apparaître
de manière imprévue pour élargir notre
potentiel de découverte de nouvelles lois : changer
de formalisme. Pour citer Wolfram là-dessus et sur
les relations entre science et mathématiques :
Il n'est pas surprenant qu'il puisse y avoir des résultats
dans les sciences où les mathématiques se
révèlent pertinentes, car depuis à
peu près un siècle l'objectif global des mathématiques
fut conçu à un certain niveau comme étant
de fournir des idéalisations abstraites sur des aspects
de la réalité physique (avec quand même
pour conséquence que des concepts comme les dimensions
au delà de 3 et les nombres transfinis ne soient
pas volontiers admis comme porteurs de sens, même
en mathématiques). Mais il n'y a absolument aucune
raison de penser que les concepts spécifiques apparus
jusqu'ici dans l'histoire des mathématiques puissent
couvrir toute la science, et en effet dans ce livre je mets
en évidence que la science déborde largement
hors de cette couverture. Il fut un temps où le rôle
des mathématiques en science servait en philosophie
comme indicateur du pouvoir ultime de la pensée humaine.
Au milieu du vingtième siècle, particulièrement
parmi les physiciens, il y eut de temps en temps quelques
étonnements exprimés devant l'efficacité
des mathématiques en sciences exactes. Une explication
avancée par Albert Einstein disait que seules les
lois physiques faciles à exprimer dans notre système
mathématique étaient repérables. Tiré
des notes de l'ANKS.
Formulé autrement, un des atouts du nouveau formalisme
de Wolfram vient du fait qu'il ne raisonne pas par contraintes,
mais préconise de dérouler les règles,
ce qui est beaucoup plus facile. Car poser un problème
en termes de contraintes ne donne aucune indication sur
la façon de résoudre ces contraintes (on peut
voir la difficulté qu'il peut y avoir à résoudre
un simple problème de tangram). Et Wolfram donne
quelques exemples de faillites de raisonnements par itération
n'arrivant même pas à approcher la solution
d'un problème dont on connaît déjà
la solution, même par des computations extrêmement
longues. D'où la puissance de l'approche systématique
permise aujourd'hui par les ordinateurs et les concepts
disant que de simples règles peuvent générer
des systèmes hautement complexes. Alors que les mathématiques
raisonnent plutôt par contraintes.
D'autre part, l'approche continue des phénomènes
est typique des mathématiques et tend à compliquer
les descriptions inutilement. Wolfram cite d'ailleurs les
cinq équations différentielles de base utilisées
dont sont issues toutes les autres et souligne leur manque
de souplesse et de choix. Alors que l'approche discrète
des automates cellulaires est beaucoup moins contraignante.
Des théories physiques alternatives basées
sur la description d'un univers discret plutôt que
continu, où l'espace serait un réseau plutôt
que du vide continu, tendraient à lever des paradoxes
comme celui de la non-séparabilité, tout comme
le paradoxe de Gödel a pu être levé par
l'étude de mathématiques alternatives. Mais
ceci est le sujet d'un prochain article, basé sur
la règle 110 des automates cellulaires.
En conclusion, quand on y réfléchit un peu,
il n'est pas étonnant qu'aujourd'hui en plein développement
de l'informatique, ce soit un langage de programmation qui
postule à remplacer les mathématiques car
c'est de cela dont il s'agit. Surtout si c'est un langage
symbolique puissant basé sur le concept que tout
peut être exprimé symboliquement, permettant
à Mathematica, le logiciel que Wolfram a utilisé
pour faire les expériences de ce livre, de représenter
pratiquement n'importe quel objet abstrait, dont les mathématiques.
La lutte entre les standards de remplacement des mathématiques
a peut-être commencé et Mathematica semble
avoir une longueur d'avance, puisque c'est avec lui que
toutes les découvertes présentées dans
l'ANKS, débordant largement le champ des mathématiques,
ont pu être formalisées précisément.
Même si la vague de découvertes sur l'émergence
et la complexité existe sous d'autres formes et impliquent
d'autres équipes de chercheurs issues d'autres milieux
que les mathématiques et la physique, Wolfram prend
date avec son livre. Finalement cette mise en échecs
des espoirs des mathématiques par l'ANKS n'est qu'apparente,
elle semble en filigrane transformer leur avantage en ayant
produit grâce à leur rigueur le seul formalisme
opérationnel pour l'instant capable de certifier
ces nouvelles découvertes.
Détail
sur le théorème d'incomplétude de Gödel
Pour citer Wolfram pages 782 et 785 : Au début
des années 1900, il était largement admis
que toutes les propositions qu'on s'attendait à voir
vraies ou fausses allaient finalement être démontrées
un jour ou l'autre comme vraies ou comme fausses, dans tout
système axiomatique raisonnable. Car en ce temps-là,
il semblait ne pas exister de limites à la puissance
des mathématiques, et aucune fin à la liste
des théorèmes pouvant être démontrés.
Mais tout change en 1931 quand le théorème
de Gödel montre que, au moins dans un système
d'axiomes non infini et contenant de l'arithmétique
standard, il doit inévitablement y avoir des déclarations
ne pouvant pas être démontrées comme
vraies ou fausses en utilisant les règles du système
axiomatique lui-même. Ce fut un grand choc pour la
réflexion de l'époque au sujet des fondements
des mathématiques. Et d'ailleurs depuis ce jour,
le théorème de Gödel a continué
d'être largement regardé comme un résultat
surprenant et assez mystérieux. Mais les découvertes
de l'ANKS commencent enfin à le rendre apparemment
inévitable et concrètement presque évident.
Car d'un certain point de vue, il peut être considéré
comme encore une autre conséquence du très
général principe d'équivalence computationnelle.
La démonstration originelle du théorème
de Gödel était basée sur la considération
de la déclaration particulière auto-référentielle
"Cette déclaration est impossible à prouver".
Au début, il ne semble pas évident qu'une
telle déclaration puisse jamais être formulée
comme une déclaration arithmétique. Mais si
elle arrive à l'être, alors on peut voir qu'il
s'en suit aussitôt --comme cette déclaration
le dit--qu'elle ne peut pas être prouvée, car
autrement il y aurait incohérence. [Si
tout est démontrable--avec cohérence et complétude--
alors cette déclaration aussi. Malheureusement elle
déclare qu'elle n'est pas elle-même démontrable.
Donc la démontrer vraie ne semble pas possible. Et
si elle est fausse, cela revient au même car il deviendrait
donc possible de prouver, qu'il est impossible de la prouver
- NdT].
En fait, la principale difficulté du théorème
de Gödel concerne la façon dont cette déclaration
peut effectivement être significativement codée
comme une déclaration arithmétique--en faisant
un effort équivalent à l'établissement
de l'universalité de l'arithmétique.
Avec le codage mathématique originel, la déclaration
serait astronomiquement longue à écrire. Mais
avec le codage sous forme d'automates cellulaires, on voit
d'une part qu'il est banal de rencontrer de telles situations
d'indécidabilité. Et le théorème
de Gödel n'est plus qu'une confirmation de ce qui est
observé pratiquement partout ailleurs dans les autres
systèmes ayant atteint le seuil d'universalité,
et qui sont légions.
D'autre part, en réalisant que les mathématiques
s'emploient surtout à défendre leur cohérence
interne, en choisissant les chemins d'un théorème
à l'autre qui évitent l'indécidabilité
pourtant réelle, on remet en question la démarche
de la preuve et de la démonstration au sens mathématique.
Car cela équivaut à chercher des raccourcis
qui n'existent pas forcément, ou qui sont extrêmement
difficiles à trouver, vu que l'irréductibilité
est un phénomène courant, même si les
mathématiques l'évitent soigneusement.
N.B.
pour se réconcilier avec les mathématiques
à l'usage de tous ceux comme moi qui ont subi leur
diktat pendant leur scolarité, et qui ont été
plus ou moins centrifugés hors des filières
scientifiques à cause de leur formalisme constamment
présenté comme omnipotent, alors que je sentais
bien que c'était louche.
Comment aller directement au sujet en se déplaçant
à l'intérieur du livre de Wolfram ?
D'abord
lire la préface et les chapitres 1 et 2. Puis les
deux premières et les deux dernières sections
du chapitre 3 traitant des automates cellulaires en général.
Ensuite le chapitre 4 sur les nombres.
Passer au chapitre 6 en lisant les deux premières
sections sur les 4 classes de comportement et la dernière
section sur les structures de ces automates de classe 4.
La section du chapitre 7 sur les problèmes de contrainte
à satisfaire serait bienvenue. Puis les quatre premières
section du chapitre 10 sur la perception, traitant de la
définition de la complexité, et la section
vers la fin parlant des mathématiques traditionnelles.
Puis dans le chapitre 11, les sections sur le phénomène
d'universalité au début, et sur le seuil d'universalité,
vers la fin. Pour finir, attaquer franco le chapitre 12
jusqu'aux implications pour les mathématiques et
leurs fondements.
 A
savoir : Stephen Wolfram fera une intervention
en vidéoconférence sur son livre,
le 6 Octobre prochain à 17h00 au Palais des
congrès de la Porte Maillot à Paris,
dans le cadre de la conférence sur la sortie
de la nouvelle version 5 de son logiciel Mathematica.
Renseignements sur www.wolfram.com/services/seminars/paris2004/.
Peut-être que les portes vont s'entrouvrir
un peu à 17h00 pour les fans encore exclusifs
de l'ANKS, qui n'ont pas encore passé le
cap du contact direct avec le logiciel qui a permis
de le réaliser ? Ou est-ce l'occasion de
le faire ?
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Les
limites des mathématiques