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N° 35
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Billet: Sur Alain Connes et la géométrie
non-commutative
citation de Lee Smolin par Jean-Paul Baquiast 26/08/02
Je trouve dans le livre remarquable (vraiment remarquable) "Three Roads to Quantum Gravity ", Basic Books, 2001, de Lee Smolin (qui fera l'objet d'une prochaine note de lecture) l'appréciation suivante, que je vous traduis. Elle représente non seulement un hommage au grand mathématicien français Alain Connes, mais aussi en quelques lignes une élégante présentation de l'intérêt pratique des travaux de celui-ci concernant ce qu'il a nommé la Géométrie non-commutative :
" Bien que mon hypothèse ne soit pas prouvée, il semble de plus en plus évident que la théorie des cordes et celle de la gravité quantique en lacets (loop quantum gravity) décrivent le même monde... Une preuve pourrait en être que des structures mathématiques identiques apparaîtraient dans l'une et l'autre. Un exemple en est la structure dite de la géométrie non-commutative. Il s'agit d'une hypothèse inventée par le mathématicien français Alain Connes pour tenter d'unifier la mécanique quantique et la relativité générale. L'idée de base en est simple. En physique quantique, on ne peut mesurer en même temps la position et la vitesse d'une particule. Mais si on le veut, on peut au moins déterminer la position avec précision. Cependant, notez que cette opération suppose trois mesures, puisque cette position se détermine le long de 3 axes (ces mesures fournissent les trois composantes du vecteur de position). Aussi nous pouvons envisager une extension du principe d'incertitude selon laquelle on ne pourrait mesurer avec précision en un instant donné que l'une de ces composantes. Quand il n'est pas possible de mesurer deux quantités simultanément, on dit qu'elles ne commutent pas. Cette idée introduit une nouvelle forme de géométrie qui est dite non-commutative. Dans un tel monde, il n'est pas possible d'envisager un point où quelque chose puisse être exactement situé.
La géométrie non-commutative d'Alain Connes nous donne ainsi la façon de décrire un monde dans lequel le concept usuel d'espace a été brisé. Il n'y existe pas de points, donc cela n'a pas de sens de se demander s'il existe un nombre infini de points dans une région donnée. Ce qui est merveilleux, cependant, est que Connes a découvert que de nombreuses parties de la théorie de la relativité, de la théorie quantique et de la physique des particules élémentaires pouvaient être compatibles avec un tel monde. Le résultat en est une structure très élégante qui semble aussi éclairer plusieurs des problèmes les plus profonds des mathématiques.
Initialement, les hypothèses de Connes furent développées indépendamment des autres approches (de la gravité quantique). Mais ces dernières années les gens ont été surpris de découvrir qu'à la fois la gravité quantique en lacets et la théorie des cordes décrivaient des mondes dans lesquels la géométrie n'est pas commutative. Ceci nous donne un nouveau langage dans lequel comparer les deux théories."
Note : rappelons que la théorie des cordes a été exposée au grand public par Brian Greene dans un livre à succès : l'Univers élégant (version française chez Robert Laffont, 1999). Lee Smolin a surtout travaillé l'autre alternative des approches de la gravité quantique, dite de la gravité quantique en lacets. Mais il s'efforce de proposer des synthèses des deux théories dans le livre cité.
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